문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 람베르트 W 함수 (문단 편집) == 개요 == '''람베르트 [math(\boldsymbol W)] 함수(Lambert [math(\boldsymbol W)] function''')는 [[특수함수]]의 하나로, 오메가 함수(Omega function) 또는 [[곱셈|곱]] [[로가리듬|로그]](Product logarithm)[* 정의가 로그함수([math(x = e^y)])와 유사하다.]라고도 한다. 함수의 정의에 앞서 우선 다음과 같은 [[함수]]를 정의해 보자. || [math(y = xe^x)] || 여기서 [math(x)]와 [math(y)]를 서로 바꾸어 [[역함수]] || [math(x = ye^y)] || 를 얻는데, 이를 만족하는 [math(y)]를 [math(y \triangleq W(x))]로 정의하고, 람베르트 [math(W)] 함수라 한다.[* 예를 들어서 [math(x=e)]라고 한다면 [math(e=ye^y)]를 만족하는 [math(y)]의 값은 [math(y=1)]이므로 [math(y=W(e)=1)]이 된다.] 즉, [math(W(x)e^{W(x)}=x)]이다.[* [math(f(x)=xe^x)]라 하면, [math(f^{-1}(x)=W(x))]이고, [[역함수]]의 정의에 의해 [math(f(f^{-1}(x))=f(W(x))=W(x)e^{W(x)}=x)]이기 때문이다.] 이 함수는 [[초등함수]]로 나타낼 수 없다. 게다가 [math(y = xe^x)]가 [math(x = -1)]에서 [[극값|극솟값 및 최솟값]] [math(-e^{-1})]을 나타내므로, 람베르트 [math(W)] 함수는 기본적으로 [[음함수]]이다. 그래서 양함수로 나타내기 위해 [math(y = -1)]을 기점으로 [math(W_{-1}(x))][* 정의역: [math([-e^{-1}, \,0))]]와 [math(W_0(x))][* 정의역: [math([-e^{-1},\, \infty))]]로 쪼개서 나타낸다. 즉 [math(W(x))]로 이르는 것은 실제로는 || [math(\dfrac{W_{-1}(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_{-1}(x))} \cup \dfrac{W_0(x)}{{\bf1}_{\mathbb R}(W_0(x))})][* [math({\bf1}_{\mathbb R})]은 [[집합 판별 함수|실수 판별 함수]]이다. 실수이면 [math(1)], 실수가 아닌 경우 [math(0)]이다. 따라서 [[0으로 나누기|함숫값이 실수가 아닐 경우]] 정의역에서 제외된다.] || 인 셈이다. 아래는 람베르트 [math(W)] 함수의 그래프이다. 위의 설명과 같이 두 영역으로 나뉘어 나타난다. [[파일:나무_람베르트W함수_그래프_NEW.png|width=340&align=center]] [math(W_0(x))]은 매클로린 전개를 이용하여 [[무한급수]]로 나타낼 수 있고, 다음과 같다. || [math(\begin{aligned} W_{0}(x) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n \\ &= x - x^2 + \frac32x^3 - \frac83x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots\end{aligned})] || 한편, [math(xe^x = 1)], 즉 [math(W_0(1))]을 [[오메가 상수]]라고 하며 [math(\Omega)]로 나타낸다. 위 무한급수 식에 [math(x=1)]을 대입하면 얻을 수 있고, 구체적인 값은 약 0.5671432904이다. 일반화된 버전으로 [math(W_n(x))]가 있는데, [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]이 아닌 경우 무조건 [[복소수]] 값을 띤다. 심지어 [math(n)]이 [math(-1)], [math(0)]인 경우에도 상술한 범위[* [math(n=-1)]인 경우 [math(-e^{-1} \le x < 0)], [math(n=0)]인 경우 [math(x \ge -e^{-1})]]를 벗어나면 복소수가 된다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기